1.5 行列式按行 (列) 展开

行列式为什么要展开？

降低阶数，方便分析和计算。

余子式和代数余子式

设有一个 4 阶行列式：

D_{4} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} |

我们选择其中的 $(2, 3)$ 元 $a_{23}$ ，将其所在的行和列删去：

D_{4} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} | \to M_{23} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{matrix} |

余子式 $M_{i j}$ ：选中一个元素之后，直接删掉其所在的行和列，剩余下来的元素按照原位置不变，再次构成的 $(n - 1)$ 阶行列式。

代数余子式：前面带了一个系数的余子式，称作代数余子式：

A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}

行列式展开定理

行列式 = 某一行 (列) 的元素与该行 (列) 的代数余子式对应相乘再相加。

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n}

意义：本来计算行列式，要将左下的整个三角形区域都化为 $0$ ，现在只需要把某一行 (列) 的大部分元素都搞成 $0$ ，就可以降低阶数了。

上一节的行列式，再算一次：

\begin{aligned} | \begin{array}{c} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 5 & 1 & - 1 & 1 \\ - 11 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 5 & - 5 & 3 & 0 \end{array} | \\ = 1 \times (- 1)^{3 + 3} \times | \begin{array}{c} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} - 6 & 2 & 0 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{array} | \\ = - 1 \times (- 1)^{3 + 2} \times | \begin{array}{c} - 6 & 2 \\ - 5 & - 5 \end{array} | \\ = - 5 \times (- 6 - 2) \\ = 40 \end{aligned}

例 1

计算：

| \begin{matrix} a & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & a \end{matrix} |

解：

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} a & a & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & a & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & a \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & - 2 & 0 & a \end{array} | \\ = (- 1)^{1 + 1} a | \begin{array}{c} a & 1 & - 1 \\ 2 & a & 0 \\ - 2 & 0 & a \end{array} | \\ = a (a^{3} - 2 a - 2 a) \\ = a^{4} - 4 a^{2} \end{aligned}

「替换法则」

起源

已知二阶行列式，按第二行展开：

| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = 1 A_{21} + 3 A_{22} = 1 \cdot (- 1)^{2 + 1} M_{21} + 3 \cdot (- 1)^{2 + 2} M_{22}

已知展开式，且与上题公用代数余子式，求结果

1 \cdot (- 1)^{2 + 1} M_{21} + 3 \cdot (- 1)^{2 + 2} M_{22} = 1 A_{21} + 3 A_{22} = | \begin{matrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} |

再有

a (- 1)^{2 + 1} M_{21} + b (- 1)^{2 + 2} M_{22} = a A_{21} + b A_{22} | \begin{matrix} 5 & 2 \\ a & b \end{matrix} | = 5 b - 2 a

若用的是同一套代数余子式，则计算带系数的某行 (列) 代数余子式的和，相当于用系数去替换原行列式的行 (列)。

应用

例 2

对于行列式 $| \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 8 & 3 \end{matrix} |$ ，计算 $5 A_{21} + 2 A_{22} + 1 A_{23}$ 。

所求的式子的本质就是求 $| \begin{matrix} 5 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & 8 & 3 \end{matrix} |$ 。显然，答案为 $0$ 。

例 3

对于行列式 $| \begin{matrix} 3 & - 5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} |$ ，计算 $M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41}$ 。

先将其化为 $A_{i j}$ 的式子：

M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41} = A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41}

所以所求的式子就是 $| \begin{matrix} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ - 1 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} |$ 。

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array} | \\ = - 1 \times (- 1)^{2 + 4} | \begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} | \\ = - | \begin{array}{c} - 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} | \\ = 0 \end{aligned}

例 4

设三阶行列式 $D_{3}$ 某行元素均为 $a (a \neq 0)$ ，行列式的值为 $1$ ，求所有的代数余子式之和。

先把代数余子式之和的表达式写出来：

(A_{11} + A_{12} + A_{13}) + (A_{21} + A_{22} + A_{23}) + (A_{31} + A_{32} + A_{33})

假设第一行均是 $a$ 。那么有

\begin{matrix} D_{3} = | \begin{matrix} a & a & a \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{matrix} | \\ A_{11} + A_{12} + A_{13} = \frac{1}{a} (a \cdot A_{11} + a \cdot A_{12} + a \cdot A_{13}) = \frac{1}{a} D_{3} = \frac{1}{a} \end{matrix}

那么剩下两行就有

\begin{matrix} A_{21} + A_{22} + A_{23} = | \begin{matrix} a & a & a \\ 1 & 1 & 1 \\ ? & ? & ? \end{matrix} | = 0 \\ A_{31} + A_{32} + A_{33} = | \begin{matrix} a & a & a \\ ? & ? & ? \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

所以答案就是 $\frac{1}{a} + 0 + 0 = \frac{1}{a}$ 。无论假设哪一行为 $a$ ，结果都一样。

1.5 行列式按行 (列) 展开 ​

余子式和代数余子式 ​

行列式展开定理 ​

「替换法则」 ​

起源 ​

应用 ​

1.5 行列式按行 (列) 展开

余子式和代数余子式

行列式展开定理

「替换法则」

起源

应用