1.5 行列式按行 (列) 展开

行列式为什么要展开？

降低阶数，方便分析和计算。

余子式和代数余子式

设有一个 4 阶行列式：

D_{4} = a_{11} a_{21} a_{31} a_{41} a_{12} a_{22} a_{32} a_{42} a_{13} a_{23} a_{33} a_{43} a_{14} a_{24} a_{34} a_{44}

我们选择其中的 $(2, 3)$ 元 $a_{23}$ ，将其所在的行和列删去：

D_{4} = a_{11} a_{21} a_{31} a_{41} a_{12} a_{22} a_{32} a_{42} a_{13} a_{23} a_{33} a_{43} a_{14} a_{24} a_{34} a_{44} \to M_{23} = a_{11} a_{31} a_{41} a_{12} a_{32} a_{42} a_{14} a_{34} a_{44}

余子式 $M_{ij}$ ：选中一个元素之后，直接删掉其所在的行和列，剩余下来的元素按照原位置不变，再次构成的 $(n - 1)$ 阶行列式。

代数余子式：前面带了一个系数的余子式，称作代数余子式：

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

行列式 = 某一行 (列) 的元素与该行 (列) 的代数余子式对应相乘再相加。

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in}

意义：本来计算行列式，要将左下的整个三角形区域都化为 $0$ ，现在只需要把某一行 (列) 的大部分元素都搞成 $0$ ，就可以降低阶数了。

上一节的行列式，再算一次：

3 - 5 21 110 - 5 - 1 313 2 - 4 - 1 - 3 = 5 - 11 0 - 5 110 - 5 - 1 313 1 - 1 00 = 1 \times (- 1)^{3 + 3} \times 5 - 11 - 5 11 - 5 1 - 1 0 = 5 - 11 - 5 11 - 5 1 - 1 0 = - 6 - 11 - 5 21 - 5 0 - 1 0 = - 1 \times (- 1)^{3 + 2} \times - 6 - 5 2 - 5 = - 5 \times (- 6 - 2) = 40

例 1

计算：

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a

解：

原式 = a 0 - 1 1 a a 1 - 1 01 a 0 0 - 1 0 a = a 0 - 1 1 0 a 2 - 2 01 a 0 0 - 1 0 a = (- 1)^{1 + 1} a a 2 - 2 1 a 0 - 1 0 a = a (a^{3} - 2 a - 2 a) = a^{4} - 4 a^{2}

5123 = 1 A_{21} + 3 A_{22} = 1 \cdot (- 1)^{2 + 1} M_{21} + 3 \cdot (- 1)^{2 + 2} M_{22}

1 \cdot (- 1)^{2 + 1} M_{21} + 3 \cdot (- 1)^{2 + 2} M_{22} = 1 A_{21} + 3 A_{22} = 5123

再有

a (- 1)^{2 + 1} M_{21} + b (- 1)^{2 + 2} M_{22} = a A_{21} + b A_{22} 5 a 2 b = 5 b - 2 a

若用的是同一套代数余子式，则计算带系数的某行 (列) 代数余子式的和，相当于用系数去替换原行列式的行 (列)。

例 2

对于行列式 $541258163$ ，计算 $5 A_{21} + 2 A_{22} + 1 A_{23}$ 。

所求的式子的本质就是求 $551228113$ 。显然，答案为 $0$ 。

例 3

对于行列式 $31 - 1 2 - 5 13 - 4 201 - 1 1 - 5 3 - 3$ ，计算 $M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41}$ 。

先将其化为 $A_{ij}$ 的式子：

M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41} = A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41}

所以所求的式子就是 $1 - 1 1 - 1 - 5 13 - 4 201 - 1 1 - 5 3 - 3$ 。

原式 = 1 - 1 10 - 5 13 - 1 2010 1 - 5 30 = - 1 \times (- 1)^{2 + 4} 1 - 1 1 201 1 - 5 3 = - - 1 - 1 1 001 - 5 - 5 3 = 0

例 4

设三阶行列式 $D_{3}$ 某行元素均为 $a (a \neq = 0)$ ，行列式的值为 $1$ ，求所有的代数余子式之和。

先把代数余子式之和的表达式写出来：

(A_{11} + A_{12} + A_{13}) + (A_{21} + A_{22} + A_{23}) + (A_{31} + A_{32} + A_{33})

假设第一行均是 $a$ 。那么有

D_{3} = a ? ? a ? ? a ? ? A_{11} + A_{12} + A_{13} = \frac{1}{a} (a \cdot A_{11} + a \cdot A_{12} + a \cdot A_{13}) = \frac{1}{a} D_{3} = \frac{1}{a}

那么剩下两行就有

A_{21} + A_{22} + A_{23} = a 1 ? a 1 ? a 1 ? = 0 A_{31} + A_{32} + A_{33} = a ? 1 a ? 1 a ? 1 = 0

所以答案就是 $\frac{1}{a} + 0 + 0 = \frac{1}{a}$ 。无论假设哪一行为 $a$ ，结果都一样。