5.2 相似矩阵
相似的推论
方阵的迹
先补充一个概念:
定义 方阵
例如,方阵
则
特征值的性质
特征值有如下性质:
特征值的积等于方阵的行列式
特征值的和等于方阵的迹
因此我们有
这两个结论的证明略有些复杂,不做强制要求。
特征值的和与积的证明
准备工作 —— 韦达定理的高次推广:
- 所有根之和为
次项系数与 次项系数之比的相反数; - 所有根之积为常数项与
次项系数之比再乘以 。
用符号语言表达就是:对于多项式方程
有
下面正式开始。
我们所求的
这里
所以我们的目标就是,求它化为多项式之后的
最好求的是
而求
现在就只剩下
首先,主对角线上所有元素的乘积里面一定含有
其他项还会有
代入韦达定理的推广式,我们有
证毕。
例 1
设三阶矩阵
解:
特征向量的性质
- 每个特征值,都至少能提供一个特征向量。
- 不同特征值的特征向量一定线性无关。
第一个结论是显而易见的。
第二个结论证明略有些复杂,不做强制要求。
不同特征值的特征向量一定线性无关的证明
使用反证法。
设对于
先假设这些特征向量线性无关,则存在
用矩阵
用式
接下来,可将
注意到该式的形式与
直到处理成
令
再进行一次处理,得到
由于特征向量不为零且各特征值都不想等,所以只能是
这与一开始
根据结论二,我们可以引出另一个结论:如果
特征向量还有一条性质,不过比较废话:属于同一特征值的特征向量的线性组合,仍是该特征值的特征向量。原因很简单,因为特征向量是齐次线性方程组的解,齐次线性方程组的解的线性组合当然还是这个齐次线性方程组的解。
另外还有一个用得很少的推论:属于不同特征值的特征向量的线性组合,不是特征向量。
相关矩阵的特征值与特征向量
设矩阵
矩阵 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
特征值 | ||||||
特征向量 | - |
下面,已知
最后一个
例 3
设三阶矩阵
根据前面的转换思路,对于
又有
因此
例 3 改
设三阶矩阵
这里的特征值中出现了
这显然是不行的。这里可以做一个投机取巧的处理。
这件事的深层原因可以有很多解释和证明,这里就不展开了。
其他的特征值用原来的方法求即可。这里不赘述了。
相似矩阵
相似的定义
我们在上一节介绍了相似对角化其实已经触碰到了「相似矩阵」的概念。现在我们完整地介绍相似的定义。
定义 设
则称矩阵
这里,
相似的性质
- 自反性:
与 本身相似; - 对称性:若
与 相似,则 与 相似; - 传递性:若
与 相似, 与 相似,则 与 相似。
此外还有两条,但不作要求。
- 若
与 相似, 为矩阵多项式,则 与 也相似; - 若
与 相似,且 均可逆,则 与 也相似。
相似矩阵的性质
我们到现在学习了矩阵各种各样的性质,现在回忆一下,和纯「数字」有关的性质有这些:
- 方阵的行列式
- 矩阵的秩
- 方阵的迹
- 方阵的特征值
- 方阵的特征多项式
对于相似的矩阵,其数值型性质全部相等。写成符号语言就是
TIP
实际应用求值时,一般按从简单到复杂的顺序选取,通常的顺序为
- 迹
- 行列式
- 秩
例 4
已知矩阵
由
由
联立解得
例 5
判断下面两个同阶矩阵是否相似。
写出
(忘了这个行列式该怎么算?传送门)
得到
当
当
同样方法,也有
从而,
所以矩阵