5.2 相似矩阵

相似的推论

方阵的迹

先补充一个概念：

定义 方阵 $\mathbf{A}$ 主对角线上所有元素的和称为该方阵的迹，记作 $\mathrm{tr}(\mathbf{A})$。

例如，方阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

则 $\mathbf{A}$ 的迹 $\mathrm{tr}(\mathbf{A})$ 为

$$\mathrm{tr}(\mathbf{A})=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$$

特征值的性质

特征值有如下性质：

• 特征值的积等于方阵的行列式

  $${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|\mathbf{A}|$$

• 特征值的和等于方阵的迹

  $${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}(\mathbf{A})$$

因此我们有

$$|\mathbf{A}|\ne 0\iff 不存在0特征值\iff \mathbf{A}可逆$$

这两个结论的证明略有些复杂，不做强制要求。

特征值的和与积的证明

准备工作 —— 韦达定理的高次推广：

• 所有根之和为 $(n-1)$ 次项系数与 $n$ 次项系数之比的相反数；
• 所有根之积为常数项与 $n$ 次项系数之比再乘以 $(-1{)}^n$。

用符号语言表达就是：对于多项式方程

$$k_n{x}^n+k_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +k_2{x}^2+k_{1}x+k_0=0$$

有

$$\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{k_{n-1}}{k_n}\\ & x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{k_0}{k_n}\end{array}$$

---

下面正式开始。

我们所求的 $\lambda$ 是特征方程的解

$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$$

这里 $\lambda \mathbf{E}$ 前面是负号，我们调整一下舒服一点：

$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{13}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|=0$$

所以我们的目标就是，求它化为多项式之后的 $k_n,k_{n-1},k_0$ 三个系数。

$$f(\lambda )=k_n{\lambda }^n+k_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +k_2{\lambda }^2+k_1\lambda +k_0=0$$

最好求的是 $k_n$。由于这里总共只有 $n$ 个 $\lambda$，前面的系数都是 $1$。要想有 ${\lambda }^n$，只能是所有 $\lambda$ 相乘，最后乘完的系数 $k_n$ 也一定是 $1$。

而求 $k_0$，我们只要令这个多项式 $f(\lambda )$ 中 $\lambda$ 的值为零，那这个多项式的值 $f(0)$ 就等于 $k_0$。

$$k_0=f(0)=|0\mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|-\mathbf{A}\right|=(-1{)}^n|\mathbf{A}|$$

现在就只剩下 $k_{n-1}$ 了。我们现在研究 ${\lambda }^{n-1}$ 会在行列式展开后的哪一项出现。

首先，主对角线上所有元素的乘积里面一定含有 ${\lambda }^{n-1}$。并且其中的 ${\lambda }^{n-1}$ 一定是 $n-1$ 个 $\lambda$ 乘一个 $-a_{ii}$。所以这里的系数是 $-a_{11}-a_{22}-\cdots a_{nn}=-\mathrm{tr}(\mathbf{A})$。

其他项还会有 ${\lambda }^{n-1}$ 吗？根据行列式的计算法则，每项中相乘的每个元素均不同行不同列，那么只要这一项中有一个元素不在主对角线上，例如 $-a_{ij}$（$i\ne j$），那么这一项里一定不会出现主对角线第 $i$ 行第 $i$ 列的 $\lambda -a_{ii}$ 和第 $j$ 行第 $j$ 列的 $\lambda -a_{jj}$。换言之，只要有一个元素不在主对角线上，就至少有两个元素不在主对角线上，因此除了主对角线乘积之外，其余的项的次数均小于等于 ${\lambda }^{n-2}$，所以 ${\lambda }^{n-1}$ 只存在于主对角线乘积这一项里面。所以 $k_{n-1}=-\mathrm{tr}(\mathbf{A})$。

代入韦达定理的推广式，我们有

$$\{\begin{array}{rl}& {\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=-\frac{k_{n-1}}{k_n}=-\frac{-\mathrm{tr}(\mathbf{A})}{1}=\mathrm{tr}(\mathbf{A})\\ & {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=(-1{)}^n\frac{k_0}{k_n}=(-1{)}^n\frac{(-1{)}^n|\mathbf{A}|}{1}=|\mathbf{A}|\end{array}$$

证毕。

例 1

设三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $2,3,\lambda$，若 $|2\mathbf{A}|=-48$，求 $\lambda$。

解：

$$|2\mathbf{A}|=2^3|\mathbf{A}|=3\times 2\times 3\cdot \lambda =-48\Rightarrow \lambda =-1$$

特征向量的性质

• 每个特征值，都至少能提供一个特征向量。
• 不同特征值的特征向量一定线性无关。

第一个结论是显而易见的。$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$，就意味着齐次线性方程组 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{x}=0$ 有非零解。

第二个结论证明略有些复杂，不做强制要求。

不同特征值的特征向量一定线性无关的证明

使用反证法。

设对于 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$，有 $n$ 个不等的特征值，分别为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，而 ${\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_2$ 为分别对应着 $n$ 个不同特征值的特征向量。

先假设这些特征向量线性无关，则存在 $n$ 个不全为零的常数 $c_1,\cdots ,c_n$ 使得

$$c_1{\mathbf{x}}_1+c_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{x}}_n=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

用矩阵 $\mathbf{A}$ 左乘上式，根据 $\mathbf{A}{\mathbf{x}}_i={\lambda }_i{\mathbf{x}}_i$，有

$$c_1{\lambda }_1{\mathbf{x}}_1+c_2{\lambda }_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n{\mathbf{x}}_n=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

用式 $(2)$ 减去 ${\lambda }_n$ 倍的式 $(1)$ 来消掉 $c_n{\lambda }_n{\mathbf{x}}_n$，得到

$$c_1({\lambda }_1-{\lambda }_n){\mathbf{x}}_1+c_2({\lambda }_2-{\lambda }_n){\mathbf{x}}_2+\cdots +c_{n-1}({\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n){\mathbf{x}}_{n-1}=0$$

接下来，可将 ${\mathbf{x}}_i$ 前面的系数 $c_i({\lambda }_i-{\lambda }_n)$ 用常数 $d_i$ 代替，则上式可以改写成

$$d_1{\mathbf{x}}_1+d_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +d_{n-1}{\mathbf{x}}_{n-1}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

注意到该式的形式与 $(1)$ 一致，但是从 $n$ 项变成了 $n-1$ 项。我们可以继续按如下步骤处理：

$$\begin{array}{c}{e}_1{\mathbf{x}}_1+e_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +e_{n-2}{\mathbf{x}}_{n-2}=0\\ f_1{\mathbf{x}}_1+f_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +f_{n-3}{\mathbf{x}}_{n-3}=0\\ g_1{\mathbf{x}}_1+g_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +g_{n-4}{\mathbf{x}}_{n-4}=0\\ \cdots \end{array}$$

直到处理成

$$m_1({\lambda }_1-{\lambda }_3){\mathbf{x}}_1+m_2({\lambda }_2-{\lambda }_3){\mathbf{x}}_2=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

令 $n_1=m_1({\lambda }_1-{\lambda }_3)$，$n_2=m_2({\lambda }_2-{\lambda }_3)$。得到

$$n_1{\mathbf{x}}_1+n_2{\mathbf{x}}_2=0$$

再进行一次处理，得到

$$n_1({\lambda }_1-{\lambda }_2){\mathbf{x}}_1=0$$

由于特征向量不为零且各特征值都不想等，所以只能是 $n_1=0$。又有 $n_1=m_1({\lambda }_1-{\lambda }_3)$，因此只能是 $m_1=0$。代入式 $(4)$ 中可得 $m_2=0$。如此不断回溯，最终可得

$$c_1=c_2=\cdots =c_n=0$$

这与一开始 $c_i$ 不全为零的假设矛盾，因此不同特征值对应的特征向量是线性无关的。证毕。

根据结论二，我们可以引出另一个结论：如果 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 具有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵一定可以相似对角化。

特征向量还有一条性质，不过比较废话：属于同一特征值的特征向量的线性组合，仍是该特征值的特征向量。原因很简单，因为特征向量是齐次线性方程组的解，齐次线性方程组的解的线性组合当然还是这个齐次线性方程组的解。

另外还有一个用得很少的推论：属于不同特征值的特征向量的线性组合，不是特征向量。

相关矩阵的特征值与特征向量

设矩阵 $\mathbf{A}$ 有特征值 $\lambda$，对应特征向量 $\mathbf{\xi }$，则与之相关的矩阵的特征值与对应特征向量如下表：

矩阵	$\mathbf{A}$	$a\mathbf{A}+b\mathbf{E}$	${\mathbf{A}}^n$	${\mathbf{A}}^{-1}$	${\mathbf{A}}^{\ast }$	${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$
特征值	$\lambda$	$a\lambda +b$	${\lambda }^n$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|}{\lambda }$	$\lambda$
特征向量	$\mathbf{\xi }$	$\mathbf{\xi }$	$\mathbf{\xi }$	$\mathbf{\xi }$	$\mathbf{\xi }$	-

下面，已知 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$，我们来验证上述结论。

$$\begin{array}{c}(a\mathbf{A}+b\mathbf{E})\mathbf{\xi }=a\mathbf{A}\mathbf{\xi }+b\mathbf{E}\mathbf{\xi }=a\lambda \mathbf{\xi }+b\mathbf{\xi }=(a\lambda +b)\mathbf{\xi }\\ {\mathbf{A}}^n\mathbf{\xi }={\mathbf{A}}^{n-1}\mathbf{A}\mathbf{\xi }={\mathbf{A}}^{n-1}\lambda \mathbf{\xi }=\lambda {\mathbf{A}}^{n-2}\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\cdots ={\lambda }^n\mathbf{\xi }\\ \mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }\Rightarrow \mathbf{\xi }={\mathbf{A}}^{-1}\lambda \mathbf{\xi }\Rightarrow {\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\xi }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{\xi }\\ {\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\xi }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{\xi }\Rightarrow {\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{\xi }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\xi }=\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\mathbf{\xi }\end{array}$$

最后一个 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量不是 $\mathbf{\xi }$。这里只验证 $\lambda$ 是其特征值。

$$\begin{array}{rl}|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}-\lambda \mathbf{E}|& =|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}-\lambda {\mathbf{E}}^{\mathrm{T}}|\\ & =|(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}{)}^{\mathrm{T}}|\\ & =|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})|\\ & =0\end{array}$$

例 2

设三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,2,2$，$\mathbf{E}$ 为三阶单位矩阵，求 $|4{\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}|$。

$\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,2,2$

$\Rightarrow$ ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值为 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ $4{\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}$ 的特征值为 $3,1,1$

根据 特征值的积等于行列式，有

$$|4{\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}|=3\times 1\times 1=3$$

例 3

设三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,-1,2$，求 ${\mathbf{A}}^{\ast }+3\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 的特征值。

根据前面的转换思路，对于 $\mathbf{A}$ 的任意特征值 $\lambda$，与之对应的 ${\mathbf{A}}^{\ast }+3\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 的特征值可以写成

$$\phi (\lambda )=\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }+3\lambda -2$$

又有 $|\mathbf{A}|=1\times (-1)\times 2=-2$，故有

$$\begin{array}{rl}\phi (1)& =\frac{-2}{1}+3-2=-1\\ \phi (-1)& =\frac{-2}{-1}-3-2=-3\\ \phi (2)& =\frac{-2}{2}+6-2=3\end{array}$$

因此 ${\mathbf{A}}^{\ast }+3\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 的特征值为 $-1,-3,3$。

例 3 改

设三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $0,-1,2$，求 ${\mathbf{A}}^{\ast }+3\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 的特征值。

这里的特征值中出现了 ${\lambda }_1=0$。这时候代入 $\phi (\lambda )$ 会出现

$$\phi (0)=\frac{0}{0}+0-2$$

这显然是不行的。这里可以做一个投机取巧的处理。

$$\begin{array}{rl}\phi ({\lambda }_1)& =\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3}{{\lambda }_1}+3{\lambda }_1-2\\ & ={\lambda }_2{\lambda }_3+3{\lambda }_1-2\\ & =-1\times 2+0-2\\ & =-4\end{array}$$

这件事的深层原因可以有很多解释和证明，这里就不展开了。

其他的特征值用原来的方法求即可。这里不赘述了。

相似矩阵

相似的定义

我们在上一节介绍了相似对角化其实已经触碰到了「相似矩阵」的概念。现在我们完整地介绍相似的定义。

定义 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$

则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似。其中，对 $\mathbf{A}$ 进行运算 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 称为对 $\mathbf{A}$ 进行相似变换；矩阵 $\mathbf{P}$ 称为把 $\mathbf{A}$ 变成 $\mathbf{B}$ 的相似变换矩阵。

这里，$\mathbf{B}$ 就不一定是对角矩阵了。

相似的性质

• 自反性：$\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{A}$ 本身相似；
• 对称性：若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，则 $\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{A}$ 相似；
• 传递性：若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，$\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{C}$ 相似，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{C}$ 相似。

此外还有两条，但不作要求。

• 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，$f(\mathbf{x})$ 为矩阵多项式，则 $f(\mathbf{A})$ 与 $f(\mathbf{B})$ 也相似；
• 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，且 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均可逆，则 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 与 ${\mathbf{B}}^{-1}$ 也相似。

相似矩阵的性质

我们到现在学习了矩阵各种各样的性质，现在回忆一下，和纯「数字」有关的性质有这些：

• 方阵的行列式
• 矩阵的秩
• 方阵的迹
• 方阵的特征值
• 方阵的特征多项式

对于相似的矩阵，其数值型性质全部相等。写成符号语言就是

$$\{\begin{array}{l}|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|\\ R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})\\ \mathrm{tr}(\mathbf{A})=\mathrm{tr}(\mathbf{B})\\ {\lambda }_A={\lambda }_b\\ |\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=|\mathbf{B}-\lambda \mathbf{E}|\end{array}$$

TIP

实际应用求值时，一般按从简单到复杂的顺序选取，通常的顺序为

1. 迹
2. 行列式
3. 秩

例 4

已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& x& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$ 与矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$ 相似。求 $x,y$。

由 $\mathrm{tr}(\mathbf{A})=\mathrm{tr}(\mathbf{B})$ 得到

$$x-4=y+1$$

由 $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|$ 得到

$$-2(-2x+4)=-2y$$

联立解得

$$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array}$$

例 5

判断下面两个同阶矩阵是否相似。

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}n& 0& \cdots & 0\\ 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$$

写出 $\mathbf{A}$ 的特征方程：

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|& =\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda & 1& \cdots & 1\\ 1& 1-\lambda & \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1-\lambda \end{array}\right|\\ & =(n-\lambda )(-\lambda {)}^{n-1}=0\end{array}$$

（忘了这个行列式该怎么算？传送门）

得到 $\mathbf{A}$ 的特征值：${\lambda }_1=n$，${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$。

当 ${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ 时，$R(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})=R(\mathbf{A})=1$，故方程组 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{x}=0$ 的基础解系有 $n-R(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})=n-1$ 个向量。

当 ${\lambda }_1=n$ 时，$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{x}=0$ 有非零解。因此 $\mathbf{A}$ 存在 $n$ 个线性无关的特征向量。

同样方法，也有 $\mathbf{B}$ 的特征值 ${\lambda }_1=n$，${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$，$\mathbf{B}$ 也存在 $n$ 个线性无关的特征向量。

从而，$\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都可对角化，且存在可逆矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2$ 使得

$${\mathbf{P}}_1^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{P}}_1=\left(\begin{array}{cccc}n& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)={\mathbf{P}}_2^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{P}}_2$$

所以矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 相似。