1.6* 专题：行列式的计算

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行列式的性质解题

行 (列) 和相等型

行 (列) 和相等：每一行或者列所有元素的和相等。

核心思路：归到第一行 (列)，使得第一行 (列) 的所有元素都相等，提取公因式，使得第一行 (列) 的所有元素都为 $1$ ，就可以去减其他行 (列) 了。

例 1

计算 $n$ 阶行列式 $a b b ⋮ a b a b ⋮ b b b a ⋮ b \dots \dots \dots ⋱ \dots b b b b a$ 。

第 $2, 3, \dots, n$ 列都加到第一列，提取公因式，然后第 $2, 3, \dots, n$ 列都减去第一列的 $b$ 倍。

原式 = a + (n - 1) b a + (n - 1) b a + (n - 1) b ⋮ a + (n - 1) b b a b ⋮ b b b a ⋮ b \dots \dots \dots ⋱ \dots b b b b a = [a + (n - 1) b] 111 ⋮ 1 b a b ⋮ b b b a ⋮ b \dots \dots \dots ⋱ \dots b b b b a = [a + (n - 1) b] 111 ⋮ 1 0 a - b 0 ⋮ 0 00 a - b ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 0000 a - b = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}

例 2

计算 $1 + a 234 1 2 + a 34 12 3 + a 4 123 4 + a$ 。

注意到每一列的和都是 $10 + a$ 。将第 $2, 3, \dots, n$ 行加到第一行，提取 $(10 + a)$ ：

10 + a 234 10 + a 2 + a 34 10 + a 2 3 + a 4 10 + a 23 4 + a = (10 + a) 1234 1 2 + a 34 12 3 + a 4 123 4 + a

然后将第 $2, 3, \dots, n$ 行分别减去第一行的相应倍数：

(10 + a) 1000 1 a 00 10 a 0 100 a

已转化成上三角行列式。结果是 $a^{3} (a + 10)$ 。

爪型行列式

* * * * * * * * * * * * *

我们把形如上面的行列式「爪型行列式」。

核心思路：将第第一行减去第二行的对应倍，使得 $a_{12} = 0$ ，然后减去第三行的对应倍使得 $a_{13} = 0$ ，以此类推，直到第一行除了 $a_{11}$ 之外都是 $0$ ，成功化为下三角行列式。

当然，「爪子」还可以是其他方向，核心思路相同：

* * * * * * * * * *, * * * * * * * * * *, * * * * * * * * * *

例 3

计算 $1111120010301004$ 。

解：

原式 = \frac{1}{12} 12111122001203012004 = \frac{1}{12} - 1 111 020000300004 = - 2

例 4

计算 $11234 - 1 a_{1} 000 - 1 0 a_{2} 00 - 1 00 a_{3} 0 - 1 000 a_{4}$ 。

解：

原式 = 1 + \frac{1}{a _{1}} + \frac{2}{a _{2}} + \frac{3}{a _{3}} + \frac{4}{a _{4}} 1234 0 a_{1} 000 00 a_{2} 00 000 a_{3} 0 0000 a_{4} = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} (1 + \frac{1}{a _{1}} + \frac{2}{a _{2}} + \frac{3}{a _{3}} + \frac{4}{a _{4}})

矩阵分块行列式

D_{1} = a_{11} ⋮ a_{m 1} c_{11} ⋮ c_{n 1} \dots \dots \dots \dots a_{1 m} ⋮ a_{mm} c_{1 m} ⋮ c_{nm} b_{11} ⋮ b_{n 1} 0 \dots \dots b_{1 n} ⋮ b_{nn}, D_{2} = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 m} ⋮ a_{mm}, D_{3} = b_{11} ⋮ b_{n 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ b_{nn} D_{1} = D_{2} \times D_{3}

证明思路：把左上那块和右下那块分别化成下三角即可。

为表示方便，我们提前引入矩阵的表示法。比如我们定义矩阵 $A$ ：

A = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots \dots a_{1 m} ⋮ a_{mm}

那上面的 $D_{2}$ 就可以表示为：

D_{2} = ∣ A ∣

同理，我们有：

B = b_{11} ⋮ b_{n 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ b_{nn}, D_{3} = ∣ B ∣ C = c_{11} ⋮ c_{n 1} \dots \dots c_{1 n} ⋮ c_{nn}, D_{4} = ∣ C ∣

那上面的 $D_{1}$ 即可表示为：

D_{1} = A C O B

所以一开始的式子就可以写成：设 $A$ 是 $m$ 阶矩阵， $B$ 是 $n$ 阶矩阵，则有

A C O B = A O D B = A O O B = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣

如果是副对角线，我们有

O B A C = D B A O = O B A O = (- 1)^{mn} ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣

这被称为拉普拉斯展开式。

例 5

计算 $0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d$ 。

原式 = - b 0 d 0 a 0 c 0 0 a 0 c 0 b 0 d = 00 d b 00 c a c a 00 d b 00 = c a d b \cdot d b c a = - (a d - b c)^{2}

行列式展开定理解题

加边法

起源

已知三阶行列式 $D = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = k$ ，

求解： $10 ⋮ 0 * a_{11} a_{21} a_{31} * a_{12} a_{22} a_{32} * a_{13} a_{23} a_{33}$ 和 $1 * ⋮ * 0 a_{11} a_{21} a_{31} 0 a_{12} a_{22} a_{32} 0 a_{13} a_{23} a_{33}$ 。

很简单，前者按第一列进行展开，后者按第一行进行展开。

原式 = 1 \times (- 1)^{1 + 1} a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = k

所谓的「加边法」就是上面的逆过程 —— 也就是逆用展开定理。

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = 10 ⋮ 0 * a_{11} a_{21} a_{31} * a_{12} a_{22} a_{32} * a_{13} a_{23} a_{33} = 1 * ⋮ * 0 a_{11} a_{21} a_{31} 0 a_{12} a_{22} a_{32} 0 a_{13} a_{23} a_{33}

在行列式比较难化简的时候，在 $*$ 处填入所需的数字，然后利用 $*$ 本身去化简本身即可。

例 6

计算： $1 + a_{1} 234 1 2 + a_{2} 34 12 3 + a_{3} 4 123 4 + a_{4}$ 。

解：

原式 = 11234 0 1 + a_{1} 234 01 2 + a_{2} 34 012 3 + a_{3} 4 0123 4 + a_{4} = 11234 - 1 a_{1} 000 - 1 0 a_{2} 00 - 1 00 a_{3} 0 - 1 000 a_{4} = 1 + \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}} 1234 0 a_{1} 000 00 a_{2} 00 000 a_{3} 0 0000 a_{4} = (1 + \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}}) a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}

例 7

计算： $1 + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} a_{1} 1 + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots ⋱ \dots a_{1} a_{2} ⋮ 1 + a_{n}$ 。

解：

原式 = b_{1} + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} a_{1} b_{2} + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots ⋱ \dots a_{1} a_{2} ⋮ b_{n} + a_{n} = 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 0 b_{1} + a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 0 a_{1} b_{2} + a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots ⋱ \dots 0 a_{1} a_{2} ⋮ b_{n} + a_{n} = 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} - 1 b_{1} 0 ⋮ 0 - 1 0 b_{2} ⋮ 0 - 1 \dots \dots ⋱ \dots - 1 00 ⋮ b_{n} = 1 + i = 1 \sum n \frac{a _{i}}{b _{i}} a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} 0 b_{1} 0 ⋮ 0 00 b_{2} ⋮ 0 0 \dots \dots ⋱ \dots 000 ⋮ b_{n} = (1 + i = 1 \sum n \frac{a _{i}}{b _{i}}) i = 1 \prod n b_{n}

么型行列式

1001210102110021

像上面这样形状的行列式，我们称其为「么型行列式」。其他方向的也算：

* * * * * * * * * *, * * * * * * * * * *, * * * * * * * * * *, * * * * * * * * * *

核心思路：沿开口所对的那条边展开：

* * * * * * * * * * * a b \to \pm a * * * * * * * * * * \pm b * * * * * * *

于是一个「么型行列式」就变成了一个小一阶的「么型行列式」加上一个下三角行列式。

例 8

计算： $1001210102110021$ 。

解：

原式 = 101211021 - 210021002 = (1 + 4 - 2) - 8 = - 5

例 9

计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = 2 - 1 02 - 1 \dots \dots ⋱ ⋱ 00 ⋮ 2 - 1 22 ⋮ 22$ 。

解：

D_{n} = 2 2 - 1 \dots ⋱ ⋱ 0 ⋮ 2 - 1 2 ⋮ 22 + 2 (- 1)^{1 + n} - 1 2 - 1 \dots 2 ⋱ 0 ⋮ 2 - 1 = 2 D_{n - 1} + 2 (- 1)^{1 + n} (- 1)^{n - 1} = 2 D_{n - 1} + 2 (- 1)^{2 n} = 2 D_{n - 1} + 2

$D_{n} = 2 D_{n - 1} + 2$ ，加上 $D_{1} = ∣2∣ = 2$ ，我们有

D_{n} + 2 = 2 (D_{n - 1} + 2), D_{1} + 2 = 4 \neq = 0

于是

D_{n} + 2 = 4 \times 2^{n - 1} = 2^{n + 1} \Rightarrow D_{n} = 2^{n + 1} - 2

川型行列式

把形如下方的行列式称为「川型行列式」。

D_{n} = * * * * * * * * * * * * *

沿第一行或第一列展开：

D_{n} = a b * * * * * * * * * * * \to \pm a * * * * * * * * * * \pm * * * * * * * * *

一个「川型行列式」被转化为两个小一阶的「川型行列式」。

例 10

设 $D_{n} = 2 a a^{2} 1 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a$ ，请写出 $D_{n}$ ， $D_{n - 1}$ 和 $D_{n - 2}$ 之间的关系。

D_{n} = 2 a a^{2} 1 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a = 2 a 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a - a^{2} 2 a a^{2} 1 ⋱ a^{2} 1 2 a = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2}

范德蒙德行列式

V_{n} = 1 x_{1} x_{1}^{2} ⋮ x_{1}^{n - 1} 1 x_{2} x_{2}^{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} \dots \dots \dots ⋱ \dots 1 x_{n} x_{n}^{2} ⋮ x_{n}^{n - 1} = n \geq i > j \geq 1 \prod (x_{i} - x_{j}) = \prod (后面的 - 前面的)

证明：使用数学归纳法。

首先有

V_{2} = 1 x_{1} 1 x_{2} = x_{2} - x_{1} = 2 \geq i > j \geq 1 \prod (x_{i} - x_{j})

所以 $n = 2$ 时原式成立。现在证原式对 $n - 1$ 阶范德蒙德行列式成立，其对 $n$ 阶范德蒙德行列式也成立。

将 $V_{n}$ 从第 $n$ 行开始，后行减前行的 $x_{1}$ 倍，有

V_{n} = 100 ⋮ 0 1 x_{2} - x_{1} x_{2} (x_{2} - x_{1}) ⋮ x_{2}^{n - 2} (x_{2} - x_{1}) \dots \dots \dots ⋱ \dots 1 x_{n} - x_{1} x_{n} (x_{n} - x_{1}) ⋮ x_{n}^{n - 2} (x_{n} - x_{1}) = x_{2} - x_{1} x_{2} (x_{2} - x_{1}) ⋮ x_{2}^{n - 2} (x_{2} - x_{1}) \dots \dots ⋱ \dots x_{n} - x_{1} x_{n} (x_{n} - x_{1}) ⋮ x_{n}^{n - 2} (x_{n} - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) 1 x_{2} ⋮ x_{2}^{n - 2} 1 x_{3} ⋮ x_{3}^{n - 2} \dots \dots ⋱ \dots 1 x_{n} ⋮ x_{n}^{n - 2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) V_{n - 1}

又有 $n - 1$ 阶范德蒙德行列式符合原等式，所以

V_{n} = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) n \geq i > j \geq 2 \prod (x_{i} - x_{j}) = n \geq i > j \geq 1 \prod (x_{i} - x_{j})

证毕。

例 11

计算 $b + c a a^{2} a + c b b^{2} a + b c c^{2}$ 。

解：

b + c a a^{2} a + c b b^{2} a + b c c^{2} = a + b + c a a^{2} a + b + c b b^{2} a + b + c c c^{2} = 1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2} = (c - b) (c - a) (b - a)

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