5.6 正交变换化标准形

线性变换

线性变换的概念

「线性」，意味着「一次」；「变换」，可以理解为「换元」。

线性变换的形式和线性方程组十分类似。设有两组变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 和 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$，设其满足下列关系：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}$$

用矩阵形式表达，就是

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\\ & \Updownarrow \\ \mathbf{x}& =\mathbf{C}\mathbf{y}\end{array}$$

这称为由 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 到 $y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 的一个线性变换，记为 $\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$。特别地，如果 $\mathbf{C}$ 是正交矩阵，那么这一变换称为正交变换。

线性变换的可逆性

考虑 $x_1,x_2,x_3$ 到 $y_1,y_2,y_3$ 的一个线性变换：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=0\\ x_3=0\end{array}$$

这样换元之后，得到三个 $0$，显然是无法根据 $y_1,y_2,y_3$ 求 $x_1,x_2,x_3$ 的。也就是说，这个线性变换是不可逆的。而如下的线性变换：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3\end{array}$$

则是可逆的。

事实上，向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 互求的过程其实就是解线性方程组的过程（两个向量可以分别对应线性方程组中的 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{b}$，也可以反过来）。从方程组的角度看，线性变换可逆的充要条件便是矩阵 $\mathbf{C}$ 满秩。

也可以从矩阵的角度看。由 $\mathbf{y}$ 得到 $\mathbf{x}$ 的式子为

$$\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$$

那要反过来，自然是

$$\mathbf{y}={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{x}$$

所以可逆的充要条件是矩阵 $\mathbf{C}$ 可逆。可逆与满秩是等价条件。

显而易见的是，可逆的线性变换是我们希望的，因为这样的变换过程中不会损失信息。

线性变换与二次型

设有二次型 $f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$，我们希望通过换元的方式，将其转化为标准形。使用可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$ 代入：

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3)& ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}\\ & =(\mathbf{Cy}{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}(\mathbf{Cy})\\ & ={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{ACy}\end{array}$$

设 $\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}$，二次型便被表示为：

$$f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{y}$$

其中 $\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}$ 这一过程称为合同变换。我们将在 5.8 正定二次型 中详细介绍。

既然我们希望 ${\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{y}$ 是标准形，那 $\mathbf{B}$ 就应该是一个对角矩阵，也就是说

$$\mathbf{\Lambda }=\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}$$

由于正交矩阵的转置等于其逆矩阵，所以如果 $\mathbf{C}$ 是正交矩阵，就有 $\mathbf{\Lambda }={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{AC}$。所以，我们只需要对 $\mathbf{A}$ 进行正交相似对角化，就可以找到 $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{\Lambda }$。

正交变换化标准形

正交变换的原理

正交变换是特殊的可逆线性变换，具有不改变图像形状的特点。

对于实对称矩阵 $\mathbf{A}$，根据相似的知识，一定存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使得 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda }$。因此有

$$\begin{array}{rl}f& ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Ax}\\ & =(\mathbf{Q}\mathbf{y}{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}(\mathbf{Qy})\\ & ={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q})\mathbf{y}\\ & ={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}\\ & ={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2\end{array}$$

且 ${\lambda }_i$ 均为 $\mathbf{A}$ 的特征值。

因此，正交变换化二次型的流程可以表示为：

例 1

求一个正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Py}$，把二次型 $f=-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 化为标准形。

实际上这道题就是在问：设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，求一个正交矩阵 $\mathbf{P}$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$。

1. 求解 $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$，解得 $\lambda =-2,1,1$

2. 求解特征向量

   $$\{\begin{array}{l}(\mathbf{A}+2\mathbf{E})\mathbf{x}=0\Rightarrow (-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}\\ (\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{x}=0\Rightarrow (-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

3. 重根的特征向量正交化

   $$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

4. 特征向量单位化

   $$\{\begin{array}{l}{\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{e}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{e}}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

得到 $\mathbf{P}=({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3)$。经过正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Py}$，将二次型化为标准形：

$$f=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2$$

例 2

求一正交变换，将二次型

$$f(x,y,z)=5x^2+5y^2+3z^2-2xy+6xz-6yz$$

化为标准形，并指出 $f(x,y,z)=36$ 表示何种曲面。

解：二次型的矩阵为

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -1& 5& -3\\ 3& -3& 3\end{array}\right)$$

得到特征方程

$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=-\lambda (4-\lambda )(9-\lambda )=0$$

解得 ${\lambda }_1=9$, ${\lambda }_2=4$, ${\lambda }_3=0$，对应特征向量为

$${\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$$

将其单位化，得到正交变换

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)$$

化二次型为 $f=9u^2+4v^2$。

由此得到，$f(x,y,z)=36$ 为椭圆柱面方程。

在 $Oxyz$ 内的图形：

在 $O-uvw$ 中的图形：