5.8 正定二次型

矩阵合同

合同的概念

设 $\mathit{A},\mathit{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathit{C}$，使得 ${\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{C}=\mathit{B}$，就说 $\mathit{A}$ 与 $\mathit{B}$ 合同。这一过程称为合同变换。

设对称矩阵 $\mathit{A}$，一定存在可逆矩阵 $\mathit{C}$，使得 ${\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{C}=\mathit{\Lambda }$，这一过程称为合同对角化。

正负惯性指数

定义 矩阵的正特征值的个数称为正惯性指数，一般记作 $p$；矩阵的负特征值的个数称为负惯性指数，一般记作 $q$。

二次型化为标准形 $f={\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{\Lambda }\mathit{y}$ 之后，中间的这个 $\mathit{\Lambda }$ 就是相似对角化之后的结果，是由原矩阵特征值拼成的对角矩阵。因此，化成标准形中的平方项（也就是 $\mathit{\Lambda }$ 主对角线上的元素）就是平方项的系数。所以，正惯性指数等于标准形中正平方项的个数，负惯性指数等于标准形中负平方项的个数。

规范形作为特殊的标准形，正惯性指数等于规范形中 $+1$ 的个数，负惯性指数等于规范形中 $-1$ 的个数。

所以我们有

• 正惯性指数 = 正特征值的个数 = 标准形正平方项的个数 = 规范形中 $+1$ 的个数
• 负惯性指数 = 负特征值的个数 = 标准形负平方项的个数 = 规范形中 $-1$ 的个数

并且，对于对角矩阵 $\mathit{\Lambda }$，其秩 $R(\mathit{\Lambda })$ 就等于其中非零元素的个数，那也就是正特征值个数与负特征值个数之和，所以我们有：

二次型矩阵的秩 $R(\mathit{A})$ 满足

$$R(\mathit{A})=p+q$$

特别地，单位矩阵 $\mathit{E}$ 的正惯性指数等于阶数 $n$，因为 $\mathit{E}$ 有 $n$ 个值为 $1$ 的特征向量。

惯性定理

二次型经过多次可逆线性变换，正负惯性指数不变。

正定二次型

正定的概念

由于二次型是齐次的二次多项式，不含常数项，因此当 $\mathit{x}=\mathbf{0}$ 时二次型的值一定为 $0$。因此，我们研究 $\mathit{x}\ne \mathbf{0}$ 的情况。

定义 设二次型 $f(\mathit{x})={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$，对任何 $\mathit{x}\ne \mathbf{0}$：

• 若都有 $f(\mathit{x})>0$，则称 $f$ 为正定二次型，称 $\mathit{A}$ 是正定矩阵；
• 若都有 $f(\mathit{x})<0$，则称 $f$ 为负定二次型，称 $\mathit{A}$ 是负定矩阵。

例 1

判断该二次型是否正定。

$$f=-5x_1^2+777777x_2^2+888888x_3^2+99999x_2{x}_3$$

取 $f(1,0,0)=-5<0$，不正定。

正定性的判定

正定的充要条件

这里给出判断对称矩阵 $\mathit{A}$ 正定的四个充要条件：

1. $f={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}\ge 0$，当且仅当 $\mathit{x}=\mathbf{0}$ 时取零。（其实就是定义）

2. 顺序主子式均大于零

   这里介绍顺序主子式的概念。简单来说，就是左上角 $i$ 行 $i$ 列元素组成的行列式。

   例如，对于矩阵

   $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

   就有一系列顺序主子式：

   $$\begin{array}{rl}\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{顺}\mathrm{序}\mathrm{主}\mathrm{子}\mathrm{式}& \left|\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right|\\ \mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{顺}\mathrm{序}\mathrm{主}\mathrm{子}\mathrm{式}& \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\\ \mathrm{三}\mathrm{阶}\mathrm{顺}\mathrm{序}\mathrm{主}\mathrm{子}\mathrm{式}& \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ & \cdots \\ n\mathrm{阶}\mathrm{顺}\mathrm{序}\mathrm{主}\mathrm{子}\mathrm{式}& \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

   若这一系列顺序主子式均大于零，则可判断原矩阵正定。

3. 正惯性指数 $=n$（或 ${\lambda }_i$ 均为正）。

   很好理解。因为化为标准形之后，平方项前的系数就是 ${\lambda }_i$。如果 ${\lambda }_i$ 均为正，与平方项相乘相加，结果肯定也为正。

4. $\mathit{A}$ 与 $\mathit{E}$ 合同。

   这一条件和 3 其实是等价的。因为 $\mathit{E}$ 的正惯性指数为 $n$，所以若二者合同，$\mathit{A}$ 的正惯性指数也为 $n$。

   由此拓展，$\mathit{A}$ 与 $\mathit{E}$ 合同，可以写出 $\mathit{A}={\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\mathit{E}\mathit{C}$，

例 2

设二次型

$$f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2a{x}_1{x}_2-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$$

为正定二次型，求 $a$ 的取值范围。

我们采用第二个，即顺序主子式这一条件。

写出矩阵

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ a& 1& 2\\ -1& 2& 5\end{array}\right)$$

故有

$$\begin{array}{rl}1& >0\\ \left|\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right|& >0\Rightarrow -1<a<-1\\ |\mathit{A}|& >0\Rightarrow -\frac{4}{5}<a<0\end{array}$$

综上，有 $-{\displaystyle \frac{4}{5}}<a<0$。

负定的充要条件

1. $f={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}\le 0$，当且仅当 $\mathit{x}=0$ 时 $f=0$；
2. 顺序主子式奇数阶为负，偶数阶为正；
3. 负惯性指数等于 $n$（或 ${\lambda }_i<0$）。

例 3

判断下面二次型的正定性：

$$f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz$$

解：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& 2\\ 2& -6& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right)\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}_{11}=-5<0\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-5& 2\\ 2& -6\end{array}\right|=26>0\\ |\mathit{A}|=-80<0\end{array}\end{array}$$

因此 $\mathit{A}$ 负定。