4.1 向量组及其线性组合

在 3.3 用矩阵解线性方程组 中，我们用矩阵这一工具解决了线性方程组的求解问题。我们算出来的解 $\mathbf{x}$ 是一个列矩阵。

我们希望进一步研究解 $\mathbf{x}$ 的性质，尤其是在方程无穷多解的时候。由此，我们引入向量的概念来描述。

向量与向量组的概念

$n$ 维向量

在解析几何中，我们把「既有大小又有方向的量」叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表达式 —— 三个有次序的实数。

我们在高中时将三个有次序的实数定义为 3 维向量，现在，类推到 $n$ 维向量。

2.1 线性方程组和矩阵 中定义过，只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。我们现在明确定义一下向量的概念：

定义 $n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 所组成的数组为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。$n$ 维向量可写成一行，也可写成一列。并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。

一般地，列向量用黑体小写字母 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{\alpha }$, $\mathbf{\beta }$ 等表示，行向量则用 ${\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}$, ${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}$, ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$, ${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}$ 等表示。所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，默认为列向量。

$$\begin{array}{c}\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\end{array}$$

分量全为实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量。除特别指明外，一般只讨论实向量。

向量组

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个 $m\times n$ 矩阵的全体列向量是一个含 $n$ 个 $m$ 维列向量的向量组，它的全体行向量是一个含 $m$ 个 $n$ 维行向量的向量组。

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。例如，$m$ 个 $n$ 维向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_k$ 构成一个 $n\times m$ 矩阵：

$${\mathbf{A}}_{n\times m}=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)$$

行向量同理。

独立向量

我们在 3.4 中重提秩的概念时，提到了秩反映「独立向量的个数」。那独立向量是什么？

考虑这个矩阵：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$

我们将其分成四个列向量：

$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$$

不难看出，${\mathbf{\alpha }}_4={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$，也就是说，这里的 ${\mathbf{\alpha }}_4$ 能被其他向量通过线性运算表达出来，即 ${\mathbf{\alpha }}_4$ 是「多余」的向量。我们便把剩下的向量称为「独立向量」。

因此，这里的独立向量的个数为 3，即矩阵的秩为 3。

我们将在之后更严谨、详细地探讨这个问题。

向量的运算

加法与数乘

加法

$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ ⋮\\ a_n+b_n\end{array}\right)$$

数乘

$$k\mathbf{\alpha }=k\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k{a}_1\\ k{a}_2\\ ⋮\\ k{a}_n\end{array}\right)$$

线性组合

如果既有加减，又有数乘，那么这一操作称为线性组合。

定义 给定向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$，对于任何一组实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，表达式

$$k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +k_m{\mathbf{a}}_m$$

称为向量组 $A$ 的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 称为这个线性组合的系数。

向量的线性组合

定义 给定向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$，对于任何一组实数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，表达式

$$k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +k_m{\mathbf{a}}_m$$

称为向量组 $A$ 的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 称为这个线性组合的系数。

线性表示

线性表示的概念

定义 给定向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$ 和向量 $\mathbf{b}$，如果存在一组数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$，使得

$$\mathbf{b}={\lambda }_1{\mathbf{a}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{a}}_m$$

则向量 $\mathbf{b}$ 是向量组 $A$ 的线性组合，这时称向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

不难看出，向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A$ 线性表示，也就是方程组：

$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_m{\mathbf{a}}_m=\mathbf{b}$$

有解。根据我们在 3.2 秩与方程组解的情况 中的结论，有：

定理 向量 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$ 线性表示的充要条件是矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m)$ 的秩等于矩阵 $\mathbf{B}=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m,\mathbf{b})$ 的秩。

我们之前提到了秩是向量组中独立向量的个数。矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于矩阵 $\mathbf{B}$ 的秩，其实就是在说，原来的向量组添上这个 $\mathbf{b}$，独立向量的个数没有增加。那就意味着，这个 $\mathbf{b}$ 是一个「多余」向量，那当然意味着这个 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $\mathbf{A}$ 线性表示。

向量组等价

设有两个向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 和 $B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$：

• 若向量组 $B$ 中的每个向量都能被向量组 $A$ 线性表示，则有

  $$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$$

• 若向量组 $A$ 中的每个向量都能被向量组 $B$ 线性表示，则有

  $$R(\mathbf{B})=R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$$

考虑到这种关系的特殊性，我们有：

定义 若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

由上面的分析可知：两个向量组等价的充要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。简记为：三秩相等。

若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，且 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$，则两个向量组等价。

应用

例 1

设

$${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\\ 0\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ 1\end{array}\right)$$

证明向量 $\mathbf{\beta }$ 能由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示，并求出表达式。

解：即求解方程组

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 4\\ 2& 3& 0\end{array}\right)\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ 1\end{array}\right)$$

写出增广矩阵并进行初等行变换得到

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& -1& 0\\ 2& 1& 4& 3\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 2\\ 0& 1& -2& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

有

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}-3k+2\\ 2k-1\\ k\end{array}\right)$$

其中 $k$ 为任意常数。故有

$$\mathbf{\beta }=(-3k+2){\mathbf{\alpha }}_1+(2k-1){\mathbf{\alpha }}_2+k{\mathbf{\alpha }}_3$$

其中 $k$ 为任意常数。

例 2

设

$${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$$

证明向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 与向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 等价。

TIP

想要说明等价，就要证明

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=R({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$$

相比于求三个秩，我们其实只要对最后一个矩阵做行变换，就能比较方便地求三个秩。

解：写出 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ 并进行初等行变换：

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 3\\ -1& 1& 0& 1& -1\\ 1& 1& 1& 0& 2\\ -1& 3& 1& 2& 0\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 1& 3\\ 0& 2& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

TIP

这时我们已经求出了

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=2$$

而这个矩阵的右边三列不一定是行阶梯形矩阵。可以将其独立出来继续求解。不过由于这里的情况比较简单，显然右半部分的秩也是 2。

故有

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=R({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=2$$

故这两个向量组等价。

与秩有关的结论

• $A$ 可由 $B$ 表示 $⟹$
  • 被表示的秩不大：$R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{B})$，等价时取等
  • 被表示的可丢掉：$R(\mathbf{B},\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$
• $A$ 可由 $B$ 表示，且 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$ $⟺$ 向量组等价，可以相互表示
• $A$ 可由 $B$ 表示，且 $\mathbf{B}$ 可由 $\mathbf{A}$ 表示 $⟺$ 向量组等价
• $A$ 可由 $B$ 表示，且 $\mathbf{A}$ 中向量个数多于 $\mathbf{B}$ $⟺$ $\mathbf{A}$ 一定线性相关（以少表多，多必相关）

线性相关即包含「多余」的向量。这个概念我们将在 下一节 中讨论。