3.3 用矩阵解线性方程组

在上一节中我们其实已经弄清楚了如何用矩阵解线性方程组。不过，还有一些小问题。

无穷多解的表示问题

接着上一节的这个方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=3\\ 2x_1-2x_2-x_3=5\end{array}\to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

现在有一个问题：其解应该如何表示？

化为行最简形矩阵之后，每一行有一个主元。主元对应的未知数称为主变量，因此每个非零行都有一个主变量。

除了主变量之外的变量，称为自由变量。

例如上面的这个矩阵中 $x_1,x_3$ 分别对应第一行和第三行的主元，因此它们是主变量；$x_2$ 是自由变量。

表示解的时候，通过主变量表示自由变量。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=2\\ x_3=-1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=2+x_2\\ x_3=-1\end{array}$$

令 $x_2=k$，

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=k+2\\ x_2=k\\ x_3=-1\end{array}$$

WARNING

别把 $x_2=k$ 漏掉了！

我们也可以用矩阵的方式来表示。一般地，将参数 $k$ 提出。

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+2\\ k\\ -1\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$

所以，最终的解写作：

$$\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right),k为任意常数.$$

所以，我们可以绘出用矩阵解线性方程组的完整流程。

例

求解线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+x_4=0\\ 2x_1+x_2-2x_3-2x_4=0\\ x_1-x_2-4x_3-3x_4=0\end{array}$$

解：写出增广矩阵

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{A},\mathbf{b})=& \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 1& 0\\ 2& 1& -2& -2& 0\\ 1& -1& -4& -3& 0\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& -4& 0\\ 0& -3& -6& -4& 0\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& -4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})<n$，有无穷多解。

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& -4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{ccccc}3& 6& 6& 3& 0\\ 0& -6& -12& -8& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{ccccc}3& 0& -6& -5& 0\\ 0& -6& -12& -8& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -2& -\frac{5}{3}& 0\\ 0& 1& 2& \frac{4}{3}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}{x}_1-2x_3-\frac{5}{3}{x}_4=0\\ x_2+2x_3+\frac{4}{3}{x}_4=0\end{array}\end{array}$$

$x_1,x_2$ 为主变量，$x_3,x_4$ 为自由变量。

令 $x_3=k_1,x_4=k_2$，有

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=2k_1+\frac{5}{3}{k}_2\\ x_2=-2k_1-\frac{4}{3}{k}_2\\ x_3=k_1\\ x_4=k_2\end{array}$$

WARNING

别把 $x_3=k_1,x_4=k_2$ 漏掉了！

因此，方程组的解为

$$\mathbf{x}=k_1\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3}\\ -\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right),k_1,k_2为任意常数.$$

齐次与非齐次线性方程组

方程组常数项不全为零的称为非齐次线性方程组。

$$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\iff \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

常数项全为零的称为齐次线性方程组。

$$\mathbf{Ax}=\mathbf{O}\iff \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

可以看出，齐次线性方程组就是一般线性方程组的一个特例。

我们在上一节已经研究了一般线性方程组的解的情况：

1. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$，方程组无解；
2. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=n$，方程组有唯一解；
3. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})<n$，方程组有无穷多解。

我们现在研究齐次线性方程组作为一个特例，其解的情况有什么特点。

对于方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$

显然其有一个解：

$$x_1=x_2=x_3=\cdots =x_n=0$$

因此，齐次线性方程组不可能无解，再怎么着也会有一个零解。

NOTE

从无解的条件 $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$ 也可以看出来齐次线性方程组不可能无解。因为 $\mathbf{b}$ 的元素全为零，没法出现系数矩阵部分为零但常数项不为零的情况。

所以，齐次线性方程组的解的情况缩减为：

1. $R(\mathbf{A})=n$，仅有唯一解（零解）；
2. $R(\mathbf{A})<n$，无穷多解。