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外观

3.2 矩阵的秩与方程组解的情况 ​

秩的概念 ​

行阶梯形矩阵或行最简形矩阵非零行的个数，也就是主元的个数，本质上就是这个方程组的有效方程的个数。

我们将这个数称为矩阵的秩。矩阵 A 的秩用 R(A) 表示。

无解时的秩 ​

考虑下面这个方程组。

{x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=3

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

(A,b)=(1−1111−1−132−2−13)→(1−11100−2200−31)→(1−111001−100−31)→(1−111001−1000−2)

我们可以看出 R(A)=2，而 R(A,b)=3。

关注变换后的最后一行。翻译一下，其实就是 0=−2，显然不成立。也就是说，此方程组无解。

从秩的角度看，只要 R(A,b)>R(A)，就会在最后出现 0=k≠0 这样的方程。也就是说，只要 R(A,b)>R(A)，方程组就无解。

唯一解时的秩 ​

考虑下面这个方程组。

{x1+3x2+x3=23x1+4x2+2x3=9−x1−5x2+4x3=102x1+7x2+x3=1

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

(A,b)=(13123429−1−54102711)→(13120−5−130−251201−1−3)→(13120−5−13001200−1−2)→(13120−5−1300120000)

R(A,b)=R(A)，有解。我们继续将其化为行最简形矩阵。

→(13000−50500120000)→(1003010−100120000)⇒{x1=3x2=−1x3=2

这里我们注意到，R(A,b)=R(A)=3，也就是未知数的个数。当我们最终化到行最简型矩阵的时候，我们实际上写出了 R(A) 个 xi=pi。只有秩等于未知数的个数时，方程才解出了唯一解。

无穷多解时的秩 ​

考虑下面这个方程组。

{x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=5

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

(A,b)=(1−1111−1−132−2−15)→(1−11100−2200−33)→(1−111001−10000)

R(A,b)=R(A)，有解。我们继续将其化为行最简形矩阵。

→(1−102001−10000)

无法继续化简。这就是行最简型矩阵了。我们把它化成方程组。

{x1−x2=2x3=−1

显然，这个方程组有无穷多解。其秩小于未知数的个数。

秩与方程组解的情况的关系 ​

我们用 n 来表示未知数的个数，就有：

  1. R(A,b)>R(A)，方程组无解；
  2. R(A,b)=R(A)=n，方程组有唯一解；
  3. R(A,b)=R(A)<n，方程组有无穷多解。

我们其实已经基本讨论清楚了如何用矩阵解线性方程组。我们将在下一节介绍如歌将无穷多解的通解表示出来。