2.3 逆矩阵

伴随矩阵

伴随矩阵的定义

定义方阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ ：

A^{*} = {(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix})

其中 $A_{i j}$ 表示 $| A |$ 的代数余子式。

伴随矩阵的来源

之前在替换法则那里有

{\begin{cases} a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = D \\ a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n} = 0 \end{cases} (i \neq j)

计算 $A A^{*}$ ：

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} | A | \\ | A | \\ ⋱ \\ | A | \end{matrix}) = | A | E

同理，也有 $A^{*} A = | A | E$ 。

伴随矩阵纯粹是为了凑逆矩阵。

逆矩阵

逆矩阵的定义

矩阵乘法中，若 $| A | \neq 0$ ，则存在唯一的矩阵 $B$ ，使得 $A B = B A = E$ ，并称矩阵 $A$ 可逆，称矩阵 $B$ 为矩阵 $A$ 的逆矩阵，记作 $B = A^{- 1}$ 。

可逆的判定

矩阵 $A$ 可逆 $⟺ | A | \neq 0$ 。

如果是抽象矩阵，存在 $A B = E$ 或 $B A = E$ 也可判断矩阵 $A$ 可逆。

逆矩阵的性质

若 $A$ 可逆，则 $A^{- 1}$ 也可逆，且 $(A^{- 1})^{- 1} = A$ 。
若 $A$ 可逆，且有常数 $λ \neq 0$ ，则有 $(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$ 。
原因： $(λ A) (\frac{1}{λ} A^{- 1}) = E$ 。
若 $A, B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
原因：相乘等于 $E$ 。
若 $A$ 可逆，则 $A^{T}$ 也可逆，且 $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ 。

逆与伴随

A A^{*} = | A | E \Rightarrow A \frac{A^{*}}{| A |} = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |} (| A | \neq 0)

例 1

有 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ ，求 $A^{*}, A^{- 1}$ 。

\begin{aligned} A^{*} & = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{array}) = (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) \\ A^{- 1} & = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) \end{aligned}

TIP

这里可以总结出一个二阶矩阵求伴随的技巧：

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ⟶ A^{*} = (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

主对角线上两个元素对调，副对角线上两个元素变号，简记为「主对调，副反号」。

抽象矩阵相关的运算

抽象矩阵的逆

例 2

设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2} - 2 A - 3 E = O$ 。

证明 $A$ 为可逆矩阵，并求出 $A^{- 1}$ ；
证明 $(A + 2 E)$ 为可逆矩阵，并求 $(A + 2 E)^{- 1}$ 。

解：

第一小题：找到 $A (____) = E$

\begin{aligned} A^{2} - 2 A - 3 E & = O \\ A^{2} - 2 A & = 3 E \\ A^{2} - 2 A E & = 3 E \\ A \frac{A - 2 E}{3} & = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{3} (A - 2 E) \end{aligned}

第二小题：凑出 $(A + 2 E) (____) = E$ （可以用大除法或者因式分解）

\begin{aligned} A^{2} - 2 A - 3 E & = O \\ A^{2} - 2 A E - 3 E^{2} & = O \\ (A + 2 E) (A - 4 E) + 5 E^{2} & = O \\ (A + 2 E) (- \frac{A - 4 E}{5}) & = E \Rightarrow (A + 2 E)^{- 1} = - \frac{1}{5} (A - 4 E) \end{aligned}

例 3

设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{3} = O$ ，证明： $A - E$ 和 $A + E$ 可逆。

证明：

\begin{aligned} A^{3} - E^{3} & = (A - E) (A^{2} + A E + E^{2}) \\ - E & = (A - E) (A^{2} + A + E) \\ \Rightarrow (A - E)^{- 1} & = - (A^{2} + A + E) \\ A^{3} + E^{3} & = (A + E) (A^{2} - A E + E^{2}) \\ E & = (A + E) (A^{2} - A + E) \\ \Rightarrow (A + E)^{- 1} & = A^{2} - A + E \end{aligned}

矩阵方程

例 4

已知 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})$ , $C = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ ，求矩阵 $X$ 使得 $A X B = C$ 。

\begin{aligned} A X B & = C \\ A^{- 1} A X B & = A^{- 1} C \\ X B B^{- 1} & = A^{- 1} C B^{- 1} \\ X & = A^{- 1} C B^{- 1} \end{aligned}

要验证 $A, B$ 是否可逆，然后就是算了。答案是 $(\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 10 & - 4 \\ - 10 & 4 \end{matrix})$ 。

2.3 逆矩阵 ​

伴随矩阵 ​

伴随矩阵的定义 ​

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可逆的判定 ​

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