2.5 矩阵分块法

矩阵的分块

对于行数和列数较高的矩阵 $A$ ，为简化运算，用若干条纵线和横线将矩阵 $A$ 划分成多个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵 $A$ 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

例如：

A = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} a_{14} a_{24} a_{34} = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}), A_{11} = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}), A_{12} = (a_{13} a_{23} a_{14} a_{24}), A_{21} = (a_{31} a_{32}), A_{22} = (a_{33} a_{34}),

这里的 $A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$ 称为子块。

前提条件：内外均合法。

λ A = λ a_{11} λ a_{21} λ a_{31} λ a_{12} λ a_{22} λ a_{32} λ a_{13} λ a_{23} λ a_{33} λ a_{14} λ a_{24} λ a_{34} = (λ A_{11} λ A_{21} λ A_{12} λ A_{22})

没什么好说的。

A AB = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22})_{m \times n} B = (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22})_{n \times t} = (A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}) (B_{11} B_{21} B_{12} B_{22}) = (A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22})

要求其中每项矩阵乘积都合法。

TIP

题目基本上会分好块，或者给出的矩阵很好分块。

例 1

设 $A = 10 - 1 1 012100100001, B = 1 - 1 1 - 1 020 - 1 10420110$ ，求 $AB$ 。

解对两个矩阵进行分块。不妨设

A = 10 - 1 1 012100100001 = (E A^{'} O E) B = 1 - 1 1 - 1 020 - 1 10420110 = (B_{11} B_{21} E B_{22})

则有

AB A^{'} B_{11} + B_{21} A^{'} + B_{22} \Rightarrow AB = (E A^{'} O E) (B_{11} B_{21} E B_{22}) = (EB_{11} + OB_{21} A^{'} B_{11} + EB_{21} E^{2} + OB_{2} 2 A^{'} E + EB_{22}) = (B_{11} A^{'} B_{11} + B_{21} E A^{'} + B_{22}) = (- 1 1 21) (1 - 1 02) + (1 - 1 0 - 1) = (- 1 - 2 1 - 1 0 + 4 0 + 2) + (1 - 1 0 - 1) = (- 2 - 1 41) = (- 1 1 21) + (4210) = (3331) = 1 - 1 - 2 - 1 024110330131

简记为主不变，副对调。

例 2

设 $A = 500032011$ ，求 $∣ A ∣, A^{- 1}, A^{*}$ 。

解对矩阵分块，有 $A = 500032011$ 。设 $B = (3211)$ 。

则 $∣ A ∣ = 5 \times (3 - 2) = 5$ 。（该知识点在 1.6 矩阵分块行列式）

B^{- 1} = \frac{1}{∣ B ∣} B^{*} = \frac{1}{3 - 2} (1 - 2 - 1 3) = (1 - 2 - 1 3) \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{5} 00 01 - 2 0 - 1 3 \Rightarrow A * = ∣ A ∣ A^{- 1} = 5 100 05 - 10 0 - 5 15