8 投影变形及其描述

地图投影：建立椭球面与投影平面上点与点之间的对应关系。

设椭球面上的大地坐标为 $(B,L)$，投影到平面上的直角坐标为 $(x,y)$。二者之间的对应关系通过投影方程表示：

$$\{\begin{array}{l}x=F_1(B,L)\\ y=F_2(B,L)\end{array}$$

长度比、等量纬度及其表示式

长度比 $m$ 定义为投影平面上微分长度 $\mathrm{d}s$ 与椭球面上相应微分长度 $\mathrm{d}S$ 之比：

$$m=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}S}$$

我们在 第 5 节 已经介绍过椭球面上微分长度 $\mathrm{d}S$ 可以用第一基本形式表达为：

$$\mathrm{d}{S}^2=(M\mathrm{d}B{)}^2+(N\cos B\mathrm{d}L{)}^2$$

我们将弧长的经线方向分量定义为 $\mathrm{d}{s}_m=M\mathrm{d}B$，纬线方向分量定义为 $\mathrm{d}{s}_{\rho }=N\cos B\mathrm{d}L$。从赤道向两极，平行圈半径 $N\cos B$ 不断缩小，因此相同的经纬度变化对应两个方向的弧长变化是不同的。也就是说当 $\mathrm{d}B=\mathrm{d}L$ 时 $\mathrm{d}{s}_m\ne \mathrm{d}{s}_{\rho }$，在椭球面上形成类似长方形的形状。

为此我们引入等量纬度 $q$，使得相同角度量的 $\mathrm{d}q$ 与 $\mathrm{d}L$ 所对应的椭球面上的弧长相同。这样可以把椭球面分成无限小的正方形，简化长度比计算公式，也有助于推导高斯正形投影公式。

不难发现令 $\mathrm{d}q=\frac{M\mathrm{d}B}{N\cos B}$，则当 $\mathrm{d}q=\mathrm{d}L$ 时，$\mathrm{d}{s}_m=\mathrm{d}{s}_{\rho }$。因此有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{S}^2& =N^2{\cos }^{2}B\left(\frac{M^2\mathrm{d}{B}^2}{N^2{\cos }^{2}B}+\mathrm{d}{L}^2\right)\\ & =N^2{\cos }^{2}B(\mathrm{d}{q}^2+\mathrm{d}{L}^2)\end{array}$$

对 $\mathrm{d}q$ 与 $\mathrm{d}B$ 的关系式两端积分可以得到：

$$q={\int }_0^B\frac{M}{N\cos B}\mathrm{d}B=\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{B}{2}\right)+\frac{e}{2}\cdot \frac{1-e\sin B}{1+e\sin B}$$

再引入等量经度 $l$ 为某点的大地经度 $L$ 与某参考子午线经度 $L_0$ 之差，即 $l=L-L_0$。

由此，可以使用 $(q,l)$ 代替大地坐标 $(B,L)$ 表达椭球面上某点的位置。如此，投影方程式可以重新表达为

$$\{\begin{array}{l}x=f_1(q,l)\\ y=f_2(q,l)\end{array}$$

对上式两端求微分得到

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}x& =\frac{\partial x}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial x}{\partial l}\mathrm{d}l\\ \mathrm{d}y& =\frac{\partial y}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial y}{\partial l}\mathrm{d}l\end{array}$$

投影平面上微分长度 $\mathrm{d}s$ 可以表达为 $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$。将上式代入并展开可以得到

$$\mathrm{d}{s}^2=\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial q}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial q}\right)}^2\right]\mathrm{d}{q}^2+2\left(\frac{\partial x}{\partial q}\frac{\partial x}{\partial l}+\frac{\partial y}{\partial q}\frac{\partial y}{\partial l}\right)\mathrm{d}q\mathrm{d}l+\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial l}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial l}\right)}^2\right]\mathrm{d}{l}^2$$

设三个系数：

$$\begin{array}{rl}E& ={\left(\frac{\partial x}{\partial q}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial q}\right)}^2\\ F& =\frac{\partial x}{\partial q}\frac{\partial x}{\partial l}+\frac{\partial y}{\partial q}\frac{\partial y}{\partial l}\\ G& ={\left(\frac{\partial x}{\partial l}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial l}\right)}^2\end{array}$$

则式子表达为：

$$\mathrm{d}{s}^2=E\mathrm{d}{q}^2+2F\mathrm{d}q\mathrm{d}l+G\mathrm{d}{l}^2$$

这个形式很熟悉，是曲面的第一基本形式，$E,F,G$ 是第一基本形式的三个系数。不过这里的曲面不再是椭球面，而是投影平面——平面是曲面的特例。

于是有

$$m^2=\frac{E\mathrm{d}{q}^2+2F\mathrm{d}q\mathrm{d}l+G\mathrm{d}{l}^2}{N^2{\cos }^{2}B(\mathrm{d}{q}^2+\mathrm{d}{l}^2)}$$

为考察长度比 $m$ 与微分弧段 $\mathrm{d}s$ 的方位角 $A$ 的关系，利用关系式

$$\tan A=\frac{N\cos B\mathrm{d}l}{M\mathrm{d}B}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}q}$$

于是 $m$ 的表达式化为

$$m^2=\frac{E{\cos }^{2}A+2F\cos A\sin A+G{\sin }^{2}A}{N^2{\cos }^{2}B}$$

由上式可知，就一般的地图投影而言，长度比是一个变量，不仅与点位有关，而且也随该点所处方位不同而变化。

令 $A=0^{\circ },180^{\circ }$，得经线方向上的长度比：

$$m_L=\frac{\sqrt{E}}{N\cos B}$$

令 $A=90^{\circ },270^{\circ }$，的纬线方向上的长度比：

$$M_B=\frac{\sqrt{G}}{N\cos B}$$

在同一个点上，若要使其长度比与方向无关，则再确定投影方程式时，要使

$$\{\begin{array}{l}E=G\\ F=0\end{array}$$

此时就有

$$m=\frac{\sqrt{E}}{N\cos B}=\frac{\sqrt{G}}{N\cos B}$$

定义长度比与 $1$ 之差为投影长度相对变形 $v_m$，简称为长度变形，即有

$$v_m=m-1=\frac{\mathrm{d}s-\mathrm{d}S}{\mathrm{d}S}$$

在整个投影平面上作任何一种投影或多或少都会产生一些长度变形，其值或正或负。通过附加一定的投影条件，可以使某些点、线上的投影变形为零。

主方向与变形椭圆

若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影在平面上，一般不能保持仍然正交，但其中总有一对在椭球面上正交的方向投影后仍然正交，则称这两个方向为主方向。主方向还有一个性质：投影后它们具有最大长度比和最小尺度比。下面我们来证明。

过椭球面上的一点 $P$ 作方位角为 $A$ 的微分弧段 $P{P}^{\prime }$，其长度为 $\mathrm{d}S$，它在经线和纬线上的分量 $P^{\prime \prime }{P}^{\prime }$ 及 $P{P}^{\prime \prime }$ 的长度分别为 $N\cos B\mathrm{d}q$ 及 $N\cos B\mathrm{d}l$，若将过 $P$ 点的经线和纬线投影到 $xy$ 平面上，由于投影变形，其交角不再为 $90^{\circ }$，设其为 $\theta$。投影平面上的相应线段 $P_1{P}_1^{\prime }$ 则为 $\mathrm{d}s=m\mathrm{d}S$。

用经线和纬线方向的长度比 $m_L,m_B$ 来表达投影后的线段长：

$$\begin{array}{rl}\overline{P_1^{\prime \prime }{P}_1^{\prime }}& =N\cos B\mathrm{d}q\cdot m_L\\ \overline{P_1{P}_1^{\prime \prime }}& =N\cos B\mathrm{d}q\cdot m_L\end{array}$$

$\angle P_1{P}_1^{\prime \prime }{P}_1^{\prime }\approx 180^{\circ }-\theta$，在 $△P_1{P}_1^{\prime \prime }{P}_1^{\prime }$ 中应用余弦定理，有：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{s}^2& =m_L^2\cdot (N\cos B\mathrm{d}q{)}^2\\ & +2m_B{m}_L{N}^2{\cos }^{2}B\cos \theta \mathrm{d}q\mathrm{d}l\\ & +m_B^2\cdot (N\cos B\mathrm{d}l{)}^2\end{array}$$

将其与第一基本形式逐项比较得到

$$\begin{array}{rl}E& =m_L^2\cdot (N\cos B{)}^2\\ G& =m_B^2\cdot (N\cos B{)}^2\\ F& =m_B{m}_L{N}^2{\cos }^{2}B\cos \theta \end{array}$$

将其代入前面的 $m$ 与 $E,F,G$ 的关系式可以得到

$$\begin{array}{rl}{m}^2& =\frac{E{\cos }^{2}A+2F\cos A\sin A+G{\sin }^{2}A}{N^2{\cos }^{2}B}\\ & =m_L^2\cos A+m_B{m}_L\cos \theta \cdot \sin 2A+m_B^2{\sin }^{2}A\end{array}$$

为求使长度比 $m$ 达到极值的方位角 $A_0$，将上式对 $A$ 求导并令其为零

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(m^2)=-m_L^2\sin 2A_0+2m_B{m}_L\cos \theta \cos 2A_0+m_B^2\sin 2A_0=0$$

解得：

$$\tan 2A_0=\frac{2m_B{m}_L\cos \theta }{m_B^2-m_L^2}$$

式中的 $m_B,m_L,\theta$ 由投影方程导出的 $E,F,G$ 以及大地纬度 $B$ 唯一确定。

由于正确函数的周期为 $180^{\circ }$，若 $A_0$ 满足上式则 $(A_0+90^{\circ })$ 也满足上式，椭球面上一点处必存在方位角 $A_0$ 与 $(A_0+90^{\circ })$ 两个互为正交的方向，其投影长度比有一个是最大值 $a$，另一个是最小值 $b$。

可以证明这两个方向投影到平面上仍然互为正交（熊介，1998）。我们定义投影长度比最大和最小的这两个方向为主方向。

基于前面的正切式以及 $m$ 和 $m_L,m_B$ 的关系式可以推出：

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =\frac{1}{2}\left[(m_L^2+m_B^2)+\sqrt{(m_L^2+m_B^2{)}^2-4m_L^2{m}_B^2{\sin }^2\theta }\right]\\ b^2& =\frac{1}{2}\left[(m_L^2+m_B^2)-\sqrt{(m_L^2+m_B^2{)}^2-4m_L^2{m}_B^2{\sin }^2\theta }\right]\end{array}$$

得到

$$\begin{array}{c}{a}^2+b^2=m_L^2+m_B^2\\ ab=m_L{m}_B\sin \theta \end{array}$$

借助主方向可以定义变形椭圆。

设在地球椭球面上以 $P$ 为中心有一微分单位圆，圆上任意一点 $P^{\prime }$ 在以 $P$ 为原点并以主方向为坐标轴的坐标系中坐标为 $(x,y)$。在投影平面上，若以 $P$ 点的投影点 $P_1$ 为原点，以两主方向为坐标轴，设点 $P^{\prime }$ 的投影点 $P_1^{\prime }$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$。

因主方向上的投影长度比为 $a,b$，取最大长度比 $a$ 的主方向为 $x$ 轴方向，则有 $x_1=ax$，$y_1=by$。于是，微分单位圆 $x^2+y^2=1$ 就被投影为

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$$

称其为变形椭圆。

在上述坐标系中方向角为 $\alpha$ 的任意方向 $P{P}^{\prime }$ 的长度比可以表示为

$$m_{\alpha }=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }$$

方向变形与角度变形

面积比与面积变形

椭球面上单位圆面积为 $\pi$，在投影平面上变形椭圆的面积为 $ab\pi$，因此投影的面积比 $n$ 为

$$n=\frac{ab\pi }{\pi }=ab$$

面积变形则为

$$v_n=n-1=ab-1$$

我们前面提到过关系 $ab=m_L{m}_B\sin \theta$，所以也有用 $m_L,m_B$ 表达的面积比 $n$：

$$n=m_L{m}_B\sin \theta$$

按变形性质的投影分类

• 等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关。即某点的长度比是一个常数。等角投影也称为正形投影。
• 等积投影：投影前后的面积不变形。
• 任意投影：既不等角又不等积

等角投影和等积投影不能共存。