1.9 无穷小的比较

定义 设 $\alpha ,\beta$ 都是无穷小

• 如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小；
• 如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
• 如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小；
• 如果 $lim\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0$，称 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小；
• 如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

若 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，我们使用记号：$\beta =o(\alpha )$。

NOTE

还有一种特殊情形：例如，$\alpha =x$ 和 $\beta =x\sin \frac{1}{x}$ 都是 $x\to 0$ 时的无穷小，但二者的比值不趋于任何极限。也就是说，这两个无穷小量不能比较。

例 1

设 $x\to 0$ 时，$f(x),g(x)$ 分别是 $x$ 的 $n$ 阶和 $m$ 阶无穷小，下列命题中，正确的个数是？

1. $f(x)g(x)$ 是 $x$ 的 $m+n$ 阶无穷小
2. 若 $n>m$，则 ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ 是 $x$ 的 $n-m$ 阶无穷小
3. 若 $n\le m$，则 $f(x)-g(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小

答案：2。

先将题干转换成数学语言：

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^n}=c_1\ne 0\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{g(x)}{x^m}=c_2\ne 0\end{array}$$

1. 正确：

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)g(x)}{x^{m+n}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^n}\cdot \frac{g(x)}{x^m}=c_1{c}_2\ne 0$$

2. 正确：

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}}{x^{n-m}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x)}{x^n}}{\frac{g(x)}{x^m}}=\frac{c_1}{c_2}\ne 0$$

3. 错误。取 $f(x)=\tan x$，$g(x)=\sin x$，此式 $m=n=1$，有

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-g(x)}{x^3}=\frac{\frac{1}{2}{x}^3}{x^3}=\frac{1}{2}$$

   即此时 $f(x)-g(x)$ 是 $x$ 的三阶无穷小。

等价无穷小

等价无穷小是同阶无穷小中非常重要的一种特殊情形。

定理 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充要条件为 $\beta =\alpha +o(\alpha )$。

$$\alpha \sim \beta \iff lim\frac{\beta }{\alpha }=1\iff \beta =\alpha +o(\alpha )$$

考查两个无穷小 $\alpha ,\beta$，设 $\beta =\alpha +\gamma$，其中 $\gamma =o(\alpha )$。

若用 $\beta$ 近似替换 $\alpha$，则二者的值都在减少时，绝对误差 $|\gamma |\to 0$，且相对误差 $|\frac{\gamma }{\alpha }|\to 0$。也就是说，$\alpha ,\beta$ 充分小的时候，这一替换可以有任意大的精确度。

定理 设 $a\sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$，且 $lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$ 存在，则

$$lim\frac{\beta }{\alpha }=lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$$

因此，求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可以用等价无穷小来替代。

例 2

求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x^3+3x}$。

$$x\to 0,\sin x\sim x\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x^3+3x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{x^3+3x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2+3}=\frac{1}{3}$$

例 3

求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1}{\cos x-1}$。

$$(x\to 0)\begin{array}{r}(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1\sim \frac{1}{3}{x}^2\\ \cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2\end{array}\}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1}{\cos x-1}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}{x}^2}{-\frac{1}{2}{x}^2}=-\frac{2}{3}$$

例 4

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x\sin x}-\frac{1}{x\tan x})\\ =& \underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x\sin x}-\frac{\cos x}{x\sin x})\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x\sin x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}\\ =& \frac{1}{2}\end{array}$$

常用的等价无穷小（$x\to 0$）：

$$\begin{array}{}\sin x\sim x& \tan x\sim x\\ \arcsin x\sim x& \arctan x\sim x\\ x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}& \tan x-x\sim \frac{x^3}{3}\\ \arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6}& x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}\\ 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}& x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2\\ \ln (1+x)\sim x& a^x-1\sim x\ln a\\ (1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x& \sqrt[\alpha ]{1+x}-1\sim \frac{x}{\alpha }\end{array}$$

TIP

之前的一连串放缩里面的都是等价无穷小。即当 $x\to 0$ 时有

$$\begin{gathered} x{e}^{-x}\sim \frac{x}{1+x}\sim \ln (1+x)\sim \sin x\sim x\sim \tan x \\ \sim e^x-1\sim \ln \frac{1}{1-x}\sim x{e}^x\sim \frac{x}{1-x} \end{gathered}$$

等价无穷小的应用法则

常见的说法是「等价无穷小在乘除中能用，加减中不能用」。但是这样的判断并不完整。

举下面两个例子：

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引例 1 求极限 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x-2x}{\tan x}}$

解 1

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x-2x}{\tan x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-2x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}-\frac{x}{x}=-1$$

解 2

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x-2x}{\tan x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{\tan x}-\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\tan x}=1-2=-1$$

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引例 2 求极限 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-x}{x^3}}$

解 1（误）

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-x}{x^3}=0$$

解 2（正）

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sec }^{2}x-1}{3x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\tan }^{2}x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$$

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理解这个问题的关键是要理解等价无穷小代换的本质。我们说 $f(x)\sim g(x)$，是因为有：

$$f(x)=g(x)+o(x)$$

我们把这个式子代入引例 2 中出错的那个地方：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+o(x)-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{o(x)}{x^3}$$

算不下去了。但是在引例 1 中，$\sin x-2x=x+o(x)-2x=-x+o(x)$，有一个 $-x$ 和 $o(x)$ 在一起，$o(x)$ 就被近似没了。

也就是说，其实用等价无穷小代换会不会出错的关键在于，代换之后会不会留下一个孤零零的 $o(x)$ 结果算不下去。所以，也不是乘除中就一定可以使用等价无穷小代换。看下面的例子。

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引例 3 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$

解 1（误）

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)}{x^2}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{x^2}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{x}-\frac{2}{x}=0$$

解 2（正）

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)}{x^2}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)-2x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{2}{2x+1}-2}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2x}{x}=-2$$

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依然把 $o(x)$ 代入式子看看错误的地方：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)}{x^2}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x+o(x)}{x^2}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2+\frac{o(x)}{x}}{x}-\frac{2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{o(x)}{x^2}$$

这里本质上还是右边的 $\frac{2}{x}$ 减掉后剩下了一个单独的 $o(x)$。

我们可以大体上总结一个规律：和代换后的式子计算之后如果出现 $0$，基本上就是错的。因为这个 $0$ 是「假的」，是那个 $o(x)$ 变的，在计算极限的时候和 $0$ 的行为不同。

所以被替换的式子，可以是整个待求式子的因式或者分母，也可以是某个复合函数。其他情况下都要小心，看到算出 $0$ 就赶快检查。

还有一个小问题：书写。

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x^2)+\ln (1-x^2)}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2+o(2x^2)-x^2+o(x^2)}{x^2}$$

根据上面的分析，我们知道在此处使用等价无穷小代换不会出现问题。但是我们看教材提供的定理的表述：

定理 设 $a\sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$，且 $lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$ 存在，则

$$lim\frac{\beta }{\alpha }=lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$$

也就是说，还是只有被替换的式子是待求式子整体的因式时，才是可以直接用的。

那怎么办？只要把书写改成下面这样就可以了。

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x^2)+\ln (1-x^2)}{x\sin x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x^2)}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1-x^2)}{x^2}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x^2}{x^2}\\ =& 2-1=1\end{array}$$

这样写就是完全「合法合规」并且能拿分的了。

前面的那些出错的用法如果这样拆就会变成未定式，算不下去。所以，比较稳妥的方式是判断等价无穷小能用之后就直接拆成两个极限的和或差，而不是稿纸一套卷子一套。

有关极限能不能拆的判断，我们将在 3.3* 极限计算专题 中详细讨论。