3.8 曲率

弧微分

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内具有连续导数，在曲线 $y=f(x)$ 上取固定点 $M_0(x_0,y_0)$ 作为度量弧长的基点，并规定依 $x$ 增大的方向作为曲线的正向。

对于曲线上任意一点 $M(x,y)$，规定有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的的值 $s$（简称为弧 $s$）如下：$s$ 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的方向与曲线的正向一致时 $s>0$，相反时 $s<0$。显然，弧 $s$ 与 $x$ 存在函数关系 $s=s(x)$，且这是一个单调增加的函数。

设 $x$ 与 $x+\Delta x$ 为 $(a,b)$ 内两个邻近的点，其在曲线上的对应点分别为 $M$ 和 $M^{\prime }$。设 $x$ 的增量为 $\Delta x$，$s$ 的增量为 $\Delta s$，则当 $M$ 与 $M^{\prime }$ 接近时，有

$$\frac{\Delta s}{\Delta x}=\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=\frac{M{M}^{\prime }}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$

故有

$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$

曲率及其计算公式

曲率的定义

设曲线 $C$ 是光滑的¹，在曲线 $C$ 上选定一点 $M_0$ 作为度量弧 $s$ 的基点。设曲线上点 $M$ 对应于弧 $s$，在点 $M$ 处切线的倾角为 $\alpha$（这里假定曲线 $C$ 所在的平面上已设立了 $xOy$ 坐标系），曲线上另外一点 $M^{\prime }$ 对应于弧 $s+\Delta s$，在点 $M^{\prime }$ 处切线的倾角为 $\alpha +\Delta \alpha$，则弧段 $\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$ 的长度为 $|\Delta s|$，当动点从点 $M$ 移动到点 $M^{\prime }$ 时切线转过的角度为 $|\Delta \alpha |$。

我们用比值 $\frac{|\Delta \alpha |}{\Delta s}$，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，把这比值称为该弧段的平均曲率，记作 $\bar{K}$，即

$$\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|$$

当 $\Delta s\to 0$ 时（即 $M^{\prime }\to M$ 时），上述平均曲率的极限叫做曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率，记作 $K$，即

$$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|$$

在 $\underset{\Delta s\to 0}{\lim }=\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}$ 存在的条件下，$K$ 也可表示为

$$K=\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}$$

直线和圆的曲率

对直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角 $\alpha$ 不变，因此直线上任意点处的曲率都等于零。

设圆的半径为 $a$，由上图可知圆在点 $M,M^{\prime }$ 处的切线所夹的角 $\Delta \alpha$ 等于圆心角 $\angle MD{M}^{\prime }$。但 $\angle MD{M}^{\prime }=\frac{\Delta s}{a}$，于是

$$\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{a}}{\Delta s}=\frac{1}{a}$$

从而

$$K=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}\right|=\frac{1}{a}$$

曲率的一般计算方法

设曲线的直角坐标方程是 $y=f(x)$，且 $f(x)$ 具有二阶导数（这时 $f^{\prime }(x)$ 连续，从而曲线是光滑的）。因为 $\tan \alpha =y^{\prime }$，所以

$$\begin{array}{c}{\sec }^2\alpha \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=y^{\prime \prime }\\ \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{y^{\prime \prime }}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}\end{array}$$

于是

$$\mathrm{d}\alpha =\frac{y^{\prime \prime }}{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$

又有

$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x$$

从而有

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

设曲线由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法，代入得到

$$K=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t){]}^{3/2}}$$

若曲线方程由 $r=r(\theta )(\alpha <\theta <\beta )$ 确定，则

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}s=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta \\ K=\frac{|r^2+2r^{\prime 2}-r{r}^{\prime \prime }|}{(r^2+r^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

曲率圆与曲率半径

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x,y)$ 处的曲率为 $K$（$K\ne 0$）。在点 $M$ 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 $D$，使得 $|DM|=\frac{1}{K}=\rho$。以 $D$ 为圆心，$\rho$ 为半径作圆，这个圆叫做曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率圆的圆心 $D$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲率圆的半径 $\rho$ 叫做曲线在点 $M$ 处的曲率半径。

记曲率中心 $D(\alpha ,\beta )$，有

$$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\cdot y^{\prime },\\ \beta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}\end{array}$$

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1. 当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。 ↩︎